题目内容
【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AA1=2,AB=BC=1,∠ABC=90°,外接球的球心为O,点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断: ①直线AC与直线C1E是异面直线;②A1E一定不垂直于AC1;③三棱锥E﹣AA1O的体积为定值;④AE+EC1的最小值为2 .
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】解:如图,
对于①,∵直线AC经过平面BCC1B1内的点C,而直线C1E在平面BCC1B1内不过C,∴直线AC与直线C1E是异面直线,故①正确;
对于②,当E与B重合时,AB1⊥A1B,而C1B1⊥A1B,∴A1B⊥平面AB1C1,则A1E垂直AC1,故②错误;
对于③,由题意知,直三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O是AC1 与A1C 的交点,则△AA1O的面积为定值,由BB1∥平面AA1C1C,∴E到平面AA1O的距离为定值,∴三棱锥E﹣AA1O的体积为定值,故③正确;
对于④,设BE=x,则B1E=2﹣x,∴AE+EC1= .由其几何意义,即平面内动点(x,1)与两定点(0,0),(2,0)距离和的最小值知,其最小值为2 ,故④正确.
∴正确命题的个数是3个.
故选:C.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用棱柱的结构特征的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.
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