题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
的离心率为
，右焦点F到右准线的距离为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点．已知l被圆O：x2+y2＝a2截得的弦长为
，求△OPQ的面积．
【答案】（1）
1；（2）
．
【解析】
（1）由题可得
,
,再由
可求得
,即可得到椭圆方程；
（2）显然直线
的斜率不为0,设直线l的方程为x＝my+1,与椭圆方程联立,则利用韦达定理可得
的纵坐标的关系,再根据弦长公式求得
,由直线截圆的弦长求得
,进而求解即可.
（1）由题意知,,
因为,解得a2＝4,b2＝3,
所以椭圆的方程为:1
（2）由题意知直线l的斜率不为0,由（1）知F（1,0）,
设直线l的方程为x＝my+1,P（x,y）,Q（x',y'）,
联立直线l与椭圆的方程整理得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0,
所以y+y'
,yy'
,
所以|PQ|
,
因为圆O:x2+y2＝4到l的距离d
,被圆O:x2+y2＝4截得的弦长为
,
所以得14＝4（4
）,解得m2＝1,
所以d
,|PQ|
,
所以S△OPQ
.
【题目】某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 10 | 20 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数。
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
【题目】已知某保险公司的某险种的基本保费为
（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | ≥4 |
保费（元） |
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随机调查了该险种的
名续保人在一年内的出险情况，得到下表：
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | ≥4 |
频数 | 280 | 80 | 24 | 12 | 4 |
该保险公司这种保险的赔付规定如下：
出险序次 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次及以上 |
赔付金额（元） |
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将所抽样本的频率视为概率.
（1）求本年度续保人保费的平均值的估计值；
（2）按保险合同规定，若续保人在本年度内出险
次，则可获得赔付
元；依此类推，求本年度续保人所获赔付金额的平均值的估计值；
（3）续保人原定约了保险公司的销售人员在上午
之间上门签合同，因为续保人临时有事，外出的时间在上午
之间，请问续保人在离开前见到销售人员的概率是多少？
【题目】低碳经济时代，文化和旅游两大产业逐渐成为我国优先发展的“绿色朝阳产业”.为了解某市的旅游业发展情况，某研究机构对该市2019年游客的消费情况进行随机调查，得到频数分布表及频率分布直方图.
旅游消费（千元） |
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频数（人） | 10 | 60 |
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（1）由图表中数据，求
的值及游客人均消费估计值（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）
（2）该机构利用最小二乘法得到2013～2017年该市的年旅游人次
（千万人次）与年份代码
的线性回归模型：
.
注：年份代码1～5分别对应年份2013～2017
①试求2013～2017年的年旅游人次的平均值；
②据统计，2018年该市的年旅游人次为9千万人次.建立2013～2018年该市年旅游人次（千万人次）与年份代码的线性回归方程，并估计2019年该市的年旅游收入.
注：年旅游收入=年旅游人次×人均消费
参考数据：
.参考公式：
，
.
