Question

4．已知函数f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}{（x}^{2}-2ax+3）$
（1）f（x）的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），求实数a的取值集合；
（2）若f（x）在[-1，+∞）上恒有意义，求实数a的取值集合．

Answer 1

分析 由题目可知f（x）为对数型函数，因此真数位置上的部分大于零
（1）由函数定义域可以求的真数位置二次函数的两根与系数的关系，从而求得参数a的值；
（2）若f（x）在[-1，+∞）上恒有意义，则真数在[-1，+∞）上恒为正，进而得到实数a的取值集合．

解答 解：（1）令u（x）=x²-2ax+3，
由题意，函数u（x）图象的对称轴为x=a，
若f（x）的定义域为（-∞，1）∪（3，+∞），
则a=2．
故实数a的取值集合为{2}
（2）若f（x）在[-1，+∞）上恒有意义，
则u（x）=x²-2ax+3＞0在[-1，+∞）上恒成立，
由函数u（x）图象的对称轴为x=a，
则$\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\ u（-1）＞0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＞-1\\ u（a）＞0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}a≤-1\\ 2a+4＞0\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a＞-1\\ 3-{a}^{2}＞0\end{array}\right.$，
解得：-2＜a＜$\sqrt{3}$，
故实数a的取值集合为{a|-2＜a＜$\sqrt{3}$}

点评 此类问题为复合型函数的定义域问题，要分层讨论，先讨论内层函数的性质，再讨论外层函数的性质，切不可大意这样的题目．