Question

14．已知函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+$\frac{1}{2}$，其中$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinx-cosx，-1），$\overrightarrow b$=（cosx，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和及单调递增区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）利用数量积运算性质、和差公式、倍角公式可得f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）$-1．再利用三角函数的图象与性质即可得出．
（Ⅱ）$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，又C∈（0，π），解得$C=\frac{π}{3}$．由sin（A+C）=sinB=2sinA，由正弦定理$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，由余弦定理${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，
即a²+b²-ab=9，联立解出即可．

解答 解：（ I）f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$（sinx-cosx）cosx-1+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$-$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$-1．
∴当$sin（2x-\frac{π}{6}）$=1时，f（x）取得最大值0．
由$2x-\frac{π}{6}∈[{-\frac{π}{2}+2kπ，\frac{π}{2}+2kπ}]$，得$x∈[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]$，
故函数A，B的单调递增区间为$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]（{k∈Z}）$．
（Ⅱ）$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，又C∈（0，π），∴$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，解得$C=\frac{π}{3}$．
又∵sin（A+C）=sinB=2sinA，由正弦定理$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，
由余弦定理${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab=9，
联立解得：$a=\sqrt{3}$，$b=2\sqrt{3}$．
故${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、和差公式、倍角公式、正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．