题目内容
(本题满分12分)
一个四棱椎的三视图如图所示:(I)求证:PA⊥BD;
(II)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30o?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
一个四棱椎的三视图如图所示:(I)求证:PA⊥BD;
(II)在线段PD上是否存在一点Q,使二面角Q-AC-D的平面角为30o?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
(I)由三视图可知P-ABCD为四棱锥,底面ABCD为正方形,且PA=PB=PC=PD,
连接AC、BD交于点O,连接PO . ……………………………………………3分
因为BD⊥AC,BD⊥PO,所以BD⊥平面PAC,
即BD⊥PA.…………………………………………………………………………6分
(II)由三视图可知,BC=2,PA=2,假设存在这样的点Q,
因为AC⊥OQ,AC⊥OD,
所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角, ……………………………………8分
在△POD中,PD=2,OD=,则∠PDO=60o,
在△DQO中,∠PDO=60o,且∠QOD=30o.所以DP⊥OQ. ……………10分
所以OD=,QD=.
所以. …………………………………………12分
略
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