题目内容
15.已知函数f(x)=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-m,m∈R.(1)若函数f(x)有零点,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上没有零点,求实数m的取值范围.
分析 (1)函数f(x)有零点,可得$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-m=0有解,求出m=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$的范围即可;
(2)求导函数,确定f(x)的单调性,要使函数f(x)在区间(1,2)上没有零点,先考察其对立面即在区间(1,2)恰有一个零点时m的取值范围,最后由此求补集即可求得所求实数m的取值范围.
解答 解:(1)∵函数f(x)有零点,
∴$\frac{1}{{2}^{x}+1}$-m=0有解,
∴m=$\frac{1}{{2}^{x}+1}$∈(0,1);
(2)f'(x)=-$\frac{{2}^{x}ln2}{(1+{2}^{x})^{2}}$<0,
∴f(x)是实数集R上的单调递减函数
又函数f(x)的图象不间断,在区间(1,2)恰有一个零点,有f(1)f(2)<0
即(-m+$\frac{1}{3}$)(-m+$\frac{1}{5}$)<0解之得$\frac{1}{5}$<m<$\frac{1}{3}$,
故函数f(x)在区间(1,2)没有零点时,实数m的取值范围是m≥$\frac{1}{3}$或m≤$\frac{1}{5}$.
点评 本题考查函数奇偶性的判断,考查导数知识的运用,考查函数的零点,考查不等式的解,属于中档题.
练习册系列答案
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11.下列命题正确的是( )
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D. | 与同一平面相交所成的二面角相同的两平面平行 |