题目内容
12.向量$\overrightarrow{m}$=($\sqrt{3}$cosx-sinx,1),$\overrightarrow{n}$=(2cosx,a-$\sqrt{3}$),x,a∈R,a为常数.(1)求y=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$关于x的函数关系式y=f(x);
(2)若x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,f(x)的最小值为-2,求a的值;
(3)用五点作图法作出(2)结论中函数在一个周期内的图象.
分析 (1)利用向量的数量积公式即可求y=f(x);
(2)若x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,根据f(x)的最小值为-2,建立方程关系即可求a的值;
(3)利用五点作图法,即可作出(2)结论中函数在一个周期内的图象.
解答 解:(1)y=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=($\sqrt{3}$cosx-sinx)×2cosx+a-$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$cos2x-2sinxcosx+a-$\sqrt{3}$
=$\sqrt{3}$cos2x+$\sqrt{3}$-sin2x+a-$\sqrt{3}$=2cos(2x+$\frac{π}{6}$)+a,
即y=f(x)=2cos(2x+$\frac{π}{6}$)+a;
(2)若x∈[0,$\frac{π}{2}$]时,2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{7π}{6}$],
∴当2x+$\frac{π}{6}$=π时,函数取得最小值此时y=-2+a=-2,
解得a=0;
(3)由(2)知f(x)=2cos(2x+$\frac{π}{6}$),
x | -$\frac{π}{12}$ | $\frac{π}{6}$ | $\frac{5π}{12}$ | $\frac{2π}{3}$ | $\frac{11π}{12}$ |
2x+$\frac{π}{6}$ | 0 | $\frac{π}{2}$ | π | $\frac{3π}{2}$ | 2π |
f(x) | 0 | 2 | 0 | -2 | 0 |
点评 本题主要考查三角函数的图象和性质,利用向量数量积公式进行化简是解决本题的关键.
练习册系列答案
相关题目
7.已知f(x)=x|x|,若对任意的x≥1有f(x+m)+mf(x)<0恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. | (-∞,-1) | B. | (-∞,-1] | C. | (-∞,-2) | D. | (-∞,-2] |
1.在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c,若3sinA=2sinB,且∠C=120°,则$\frac{c}{a}$的值是( )
A. | $\frac{\sqrt{19}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{\sqrt{13}}{2}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ |