Question

【题目】已知椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+ =0）且不垂直于x轴直线l椭圆C相交于A、B两点． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求 取值范围；
（Ⅲ）若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知 ，∴ ，即 ， 又 ，∴a2=4，b2=3，
故椭圆的方程为 ；
（Ⅱ）解：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），
由 得：（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．
由△=（﹣32k2）2﹣4（4k2+3）（64k2﹣12）＞0得： ．
设A（x1 ， y1），B （x2 ， y2），则 ， ①
∴y1y2=k（x1﹣4）k（x2﹣4）= ，
∴ ，
∵ ，∴ ，则 ．
∴ 的取值范围是 ；
（Ⅲ）证明：∵B、E两点关于x轴对称，∴E（x2 ， ﹣y2），
直线AE的方程 ，令y=0，得 ，
又y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4），
∴ ，
将①代入上式并整理得：x=1，
∴直线AE与x轴交于定点（1，0）
【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率得到a，b的关系式 ，由原点到直线x﹣y+ =0的距离求得b，则a可求，椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣4），联立直线方程与椭圆方程，由△＞0得k的范围，利用根与系数的关系得到A，B两点的横坐标的和与积，代入 ，结合k的范围可得 取值范围；（Ⅲ）由B、E两点关于x轴对称，得到E（x2 ， ﹣y2），写出直线AE的方程，求出直线在x轴上的截距x=1，则可说明直线AE与x轴交于定点（1，0）．