题目内容
【题目】如图,已知抛物线C:,过抛物线焦点F的直线交抛物线C于A,B两点,P是抛物线外一点,连接
,
分别交抛物线于点C,D,且
,设
,
的中点分别为M,N.
(1)求证:轴;
(2)若,求
面积的最小值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)设直线的方程为
,联立直线方程和抛物线方程,消去
后利用韦达定理及中点坐标公式即可求得
,即可求得
轴;
(2)根据向量的坐标运算及点在抛物线上,即可求得,根据三角形的面积公式即可求得
面积的最小值.
(1)抛物线C:的焦点
,设
,
,
,
,
直线的方程为
,
由,消去x,整理得
,
则,
,
,因为
,
所以,即
,
由,所以
轴.
(2)由(1)可知,,
,则
,
设,由
,
,得
,
,
代入抛物线,得到
,
同理,
所以,
为方程
,
即,所以
,
即M,N,P三点共线,
又,所以
,
又,
所以,
当,
面积的最小值
.
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