题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当吋,解不等式
;
(2)设.
①当时,若存在
,使得
,证明:
;
②当时,讨论
的零点个数.
【答案】(1)(2)①见解析②见解析
【解析】
(1)将代入,不妨设
,利用导数判断函数单调递增,由
,即可求解.
(2)①由,代入解析式整理可得
,由
,利用基本不等式可得
,方法一:设
,利用导数即可证出;方法二:利用反证法,假设
,找出
,与已知矛盾即可. ②
,求导函数
,求出函数的单调区间以及最值,且
,讨论
、
或
即可得出零点个数.
解:(1)设,
则,
所以在
上递增,又
,所以
,
所以的解集为
.
(2)①证明:由得
,
即,又
,
所以,
因为,所以“
”不成立.
思路一:
设,
,则
,
所以在
单调递减,
又,所以
,即
.
思路二:
假设,则
,
,所以
,
这与矛盾,故
.
②,
当时,
,
令得
(负值舍去).
所以当时,
,
为减函数,
当时,
,
为增函数.
又.
当
,即
时,
有一个零点.
当
,即
时,由
可知
,
又,且
,
所以,在
有一个零点,故此时
有两个零点;
当
,即
时,由
可知
,
令,则
,
所以当时,
,
单调递增;
当时,
,
单调递减,所以
,
故,则
.
所以,所以
,且
,
所以,在
有一个零点,故此时
有两个零点.
综上,当时,
有1个零点;
当且
时,
有2个零点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在抗击新冠肺炎疫情期间,很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有:现场值班值守,社区消毒,远程教育宣传,心理咨询(每个志愿者仅参与一类服务).参与A,B,C三个社区的志愿者服务情况如下表:
社区 | 社区服务总人数 | 服务类型 | |||
现场值班值守 | 社区消毒 | 远程教育宣传 | 心理咨询 | ||
A | 100 | 30 | 30 | 20 | 20 |
B | 120 | 40 | 35 | 20 | 25 |
C | 150 | 50 | 40 | 30 | 30 |
(1)从上表三个社区的志愿者中任取1人,求此人来自于A社区,并且参与社区消毒工作的概率;
(2)从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况,以X表示负责现场值班值守的人数,求X的分布列;
(3)已知A社区心理咨询满意率为0.85,B社区心理咨询满意率为0.95,C社区心理咨询满意率为0.9,“,
,
”分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询满意,“
,
,
”分别表示A,B,C社区的人们对心理咨询不满意,写出方差
,
,
的大小关系.(只需写出结论)