题目内容
【题目】已知函数(
且
).
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若,讨论函数
的单调性与单调区间;
(Ⅲ)若有两个极值点
、
,证明:
.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)求出和
的值,利用点斜式可得出所求切线的方程;
(Ⅱ)求得,由
,分
和
两种情况讨论,分析
的符号变化,可得出函数
的单调递增区间和递减区间;
(Ⅲ)由题意可知,方程有两正根
、
,利用韦达定理得出
,
且
,将所证不等式转化为
,构造函数
,利用导数证明出当
时,
即可.
由题可知:函数的定义域为
(Ⅰ)因为时,
,所以
,
那么,
,
所以曲线在
处的切线方程为:
,
即;
(Ⅱ)因为,由
可得:
①当,
,时,有
,
,满足
,
和
时
,
即函数在
和
上为减函数;
时,
,即函数
在
上为增函数;
②当时,
,
恒成立,所以函数
在
为减函数.
综上可知:
当时,函数
在
和
上为减函数,
在上为增函数;
当时,函数
在
上为减函数;
(Ⅲ)因为有两个极值点
、
,
则有两个正根
、
,则有
,且
,
,即
,
所以
若要,即要
,
构造函数,则
,易知
在
上为增函数,
且,
,
所以存在使
即
,
且当时
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增.
所以函数在
上有最小值为
,
又因为则
,所以
在
上恒成立,
即成立.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了迎接2019年全国文明城市评比,某市文明办对市民进行了一次文明创建知识的网络问卷调查.每一位市民有且仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分(满分:100分)数据,统计结果如下表所示:
组别 | |||||||
频数 | 25 | 150 | 200 | 250 | 225 | 100 | 50 |
(1)由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分服从正态分布
,
近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作为代表),请利用正态分布的知识求
;
(2)在(1)的条件下,文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(i)得分不低于的可以获赠2次随机话费,得分低于
的可以获赠1次随机话费;
(ii)每次获赠的随机话费和对应的概率为:
获赠的随机话费(单位:元) | 20 | 40 |
概率 |
现市民小王要参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求
的分布列及数学期望.
附:①;
②若,则
,
,
.
【题目】近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示,绘制相应的散点图,如图所示:
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
羊只数量(万只) | 1.4 | 0.9 | 0.75 | 0.6 | 0.3 |
草地植被指数 | 1.1 | 4.3 | 15.6 | 31.3 | 49.7 |
根据表及图得到以下判断:①羊只数量与草场植被指数成减函数关系;②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为,去掉第一年数据后得到的相关系数为
,则
;③可以利用回归直线方程,准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数;以上判断中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3