题目内容
【题目】已知函数
.
（1）求函数
在点
处的切线方程；
（2）设函数
在
上有且只有一个零点，求
的取值范围.（其中
，
为自然对数的底数）
【答案】（1）
；（2）
或
【解析】
（1）利用曲线在某一点处切线方程的求法可直接求得结果；
（2）由
可将问题转化为
在
上无零点；当时，单调递增，满足题意；当
时，求得导函数的零点
，分别在
，
两种情况下，讨论函数的单调性，并根据最值确定是否有零点，从而求得
的取值范围.
（1）
，
切点坐标为
，
，
，切线方程为：.
（2）
，
是在
上的唯一零点，
在上无零点.
，
①当时，
在上恒成立，在上单调递增，
，满足题意；
②当时，令
，解得：，
⑴当，即
时，
若
，则
；若
，则，
在
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
当
，即
时，在上无零点，满足题意；
当
，即
时，在上有零点，不合题意；
⑵当，即
时，
在上恒成立，在上单调递增，
，满足题意；
综上所述：实数的取值范围为
.
练习册系列答案
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【题目】近五年来某草场羊只数量与草场植被指数两变量间的关系如表所示，绘制相应的散点图，如图所示：
年份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
羊只数量（万只） | 1.4 | 0.9 | 0.75 | 0.6 | 0.3 |
草地植被指数 | 1.1 | 4.3 | 15.6 | 31.3 | 49.7 |
根据表及图得到以下判断：①羊只数量与草场植被指数成减函数关系；②若利用这五组数据得到的两变量间的相关系数为
，去掉第一年数据后得到的相关系数为
，则
；③可以利用回归直线方程，准确地得到当羊只数量为2万只时的草场植被指数；以上判断中正确的个数是（ ）
A.0B.1C.2D.3
