Question

【题目】已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直线的左上方．

（1）若以为直径的圆恰好经过椭圆右焦点，求此时直线的方程；

（2）求证：的内切圆的圆心在定直线上．

Answer 1

【答案】（1）．（2）见解析

【解析】

（1）设直线的方程为．设，．由直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得，由判别式大于0得的一个范围，由点在直线的左上方再一个的范围，两者结合得的取值范围，以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，说明，用坐标表示并代入可求得，注意的取值范围，即得直线方程；

（2）由（1）计算，即得直线是的内角平分线，可得结论．

解：（1）设直线的方程为．设，．

由得，则，．

由，解得．

又∵点在直线的左上方，∴．

若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，

则，即，

化简得，解得，或（舍）．

∴直线的方程为．

（2）∵

，

∴直线平分，即的内切圆的圆心在定直线上．