题目内容
【题目】检验中心为筛查某种疾病,需要检验血液是否为阳性,对份血液样本,有以下两种检验方式:①逐份检验,需要检验
次;②混合检验,即将其中
(
且
)份血液样本分别取样混合在一起检验,若检验结果为阴性,这
份的血液全为阴性,因而这
份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这
份血液究竟哪几份为阳性,再对这
份再逐份检验,此时这
份血液的检验次数总共为
次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为
.
(1)假设有5份血液样本,其中只有2份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率;
(2)现取其中(
且
)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为
,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为点
.当
时,根据
和
的期望值大小,讨论当
取何值时,采用逐份检验方式好?
(参考数据:,
,
,
,
,
.)
【答案】(1)(2)
的取值大于等于9时采用逐份检验方式好.
【解析】
(1)记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件,利用古典概型的概率计算公式,即可得答案;
(2)易得,
的取值为1,
,利用对立事件可求得
,进而得到
,所以
,两边取对数利用导数,可得不等式的解.
(1)记恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件,
则.
(2)易得,
的取值为1,
,
计算,
,
所以,
又,
,
令,即
.
设,
,
,
当时,
,
在
上单调递增;
当时,
,
在
上单调递减.
且,
,
所以的取值大于等于9时采用逐份检验方式好.
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