Question

1．已知矩阵M=$（\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{1}\end{array}）$的一个特征值l所对应的特征向量为$（\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}）$．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+2xy+2y²=1在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$=1•$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$可得a=1，b-0，进而可得结论；
（Ⅱ）通过设曲线C上任意一点（x，y）在矩阵M对应变换作用下得到（x′，y′），利用$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，用x′、y′表示出x、y，并代入曲线C方程即得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$=1•$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，
∴$[\begin{array}{l}{a}\\{b}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}\\{0}\end{array}]$，解得a=1，b-0，
∴M=$[\begin{array}{l}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{array}]$，
∵detM=1≠0，所以M^-1=$[\begin{array}{l}{1}&{-1}\\{0}&{1}\end{array}]$；
（Ⅱ）曲线C：x²+2xy+2y²=1上任意一点（x，y）
在矩阵M对应变换作用下得到（x′，y′），
则$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=x+y}\\{y′=y}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=x′-y′}\\{y=y′}\end{array}\right.$，
代入方程x²+2xy+2y²=1，得（x′）²+（y′）²=1，
∴曲线C在矩阵M对应变换作用下得到的新的曲线方程为：x²+y²=1．

点评 本题考查矩阵与变换，注意解题方法的积累，属于中档题．