题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)当时,求函数
的单调区间和极值;
(2)若对于任意,都有
成立,求实数
的取值范围;
(3)若,且
,证明:
.
【答案】(1)答案见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意x>0,由此根据k≤0,k>0利用导数性质分类讨论,能求出函数f(x)的单调区间和极值.
(2)问题转化为,对于x∈[e,e2]恒成立,令
,则
,令
,由此利用导数性质能求出实数k的取值范围.
(3)设,则
,要证
,只要证
,即证
,由此利用导数性质能证明
.
试题解析:
(1),
①时,因为
,所以
,
函数的单调递增区间是
,无单调递减区间,无极值;
②当时,令
,解得
,
当时,
;当
,
.
所以函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
,
在区间上的极小值为
,无极大值.
(2)由题意,,
即问题转化为对于
恒成立,
即对于
恒成立,
令,则
,
令,则
,
所以在区间
上单调递增,故
,故
,
所以在区间
上单调递增,函数
.
要使对于
恒成立,只要
,
所以,即实数k的取值范围为
.
(3)证法1 因为,由(1)知,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,且
.
不妨设,则
,
要证,只要证
,即证
.
因为在区间
上单调递增,所以
,
又,即证
,
构造函数,
即,
.
,
因为,所以
,即
,
所以函数在区间
上单调递增,故
,
而,故
,
所,即
,所以
成立.
证法2 要证成立,只要证:
.
因为,且
,所以
,
即,
,
即,
,同理
,
从而,
要证,只要证
,
令不妨设,则
,
即证,即证
,
即证对
恒成立,
设,
,
所以在
单调递增,
,得证,所以
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了解学生喜欢校内、校外开展活动的情况,某中学一课外活动小组在学校高一年级进行了问卷调查,问卷共100道题,每题1分,总分100分,该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位:分)进行统计,将数据按,
,
,
,
分成五组,绘制的频率分布直方图如图所示,若将不低于60分的称为
类学生,低于60分的称为
类学生.
(1)根据已知条件完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为性别与是否为
类学生有关系?
|
| 合计 | |
男 | 110 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
(2)将频率视为概率,现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中类学生的人数为
,若每次抽取的结果是相互独立的,求
的分布列、期望
和方差
.
参考公式:,其中
.
参考临界值:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】已知变量之间的线性回归方程为
,且变量
之间的一组相关数据如表所示,则下列说法错误的是( )
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 6 | m | 3 | 2 |
A. 变量之间呈现负相关关系
B. 的值等于5
C. 变量之间的相关系数
D. 由表格数据知,该回归直线必过点(9,4)
【题目】随着人们生活水平的不断提高,家庭理财越来越引起人们的重视.某一调查机构随机调查了5个家庭的月收入与月理财支出(单位:元)的情况,如下表所示:
月收入 | 8 | 10 | 9 | 7 | 11 |
月理财支出 |
(I)在下面的坐标系中画出这5组数据的散点图;
(II)根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(III)根据(II)的结果,预测当一个家庭的月收入为元时,月理财支出大约是多少元?
(附:回归直线方程中,
,
.)