Question

【题目】已知函数f（x）=（1-2x）（x2-2）．

（1）求f（x）的单调区间和极值；

（2）若直线y=4x+b是函数y=f（x）图象的一条切线，求b的值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（-，1），单调递减区间为（-，-），（1，+），

极小值为f（-）=-，极大值为f（1）=1．（2）b=-2或-

【解析】分析：（1）求出导函数f'（x）=-6x2+2x+4．令f'（x）= 0，求出极值点，列出表格即可求得单调区间和极值。

（2）设出切点，根据切点既在直线上又在导函数上，可求得切点的坐标；代入直线方程即可求出b的值。

详解：（1）因为f'（x）=-2（x2-2）+（1-2x）·2x=-6x2+2x+4．

令f'（x）=0，得3x2-x-2=0，解得x=-或x=1．

x	（-,-）	-	（-,1）	1	（1,+）
f'（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

所以f（x）的单调递增区间为（-，1），单调递减区间为（-，-），（1，+），

极小值为f（-）=-，极大值为f（1）=1．

（2）因为f'（x）=-6x2+2x+4，

直线y=4x+b是f（x）的切线，设切点为（x0，f（x0）），

贝f'（x0）=-6x+2x0+4=4，

解得x0=0或x0=．

当x0=0时，f（x0）=-2，代入直线方程得b=-2，

当x0=时，f（x0）=-，代入直线方程得b=-．

所以b=-2或-．