题目内容
【题目】已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．
【答案】（1）
、
，（2）
的单调递增区间为（0，1），而的单调递减区间为
．（3）
的取值范围为
【解析】
试题分析： （1）由极值的定义和已知条件可得b﹣c=﹣3﹣c，，即b=-3；对已知函数求导，再由
，列出管a，b 的等式，即可得到a的值.（2）由（1）可得到f（x）的表达式，然后对其求导，由
或
，可得到函数的单调增区间或减区间.（3）求出f（x）的最小值﹣3﹣c，已知条件式f（x）≥﹣2c2恒成立可转化为﹣3﹣c≥﹣2c2，解得c即可.
试题解析：解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3。2分
又对f（x）求导得
=x3（4alnx+a+4b），
由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，得a=12 4分
（2）由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1
当0＜x＜1时，f'（x）＜0， f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0， f（x）单调递增，
故 f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞） 8分
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，
要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2 10分
即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得
或c≤﹣1
所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪
12分
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