Question

【题目】已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．

（1）试确定a，b的值；

（2）讨论函数f（x）的单调区间；

（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣2c2恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）、，（2）的单调递增区间为（0，1），而的单调递减区间为．（3）的取值范围为

【解析】

试题分析： （1）由极值的定义和已知条件可得b﹣c=﹣3﹣c，，即b=-3；对已知函数求导，再由，列出管a，b 的等式，即可得到a的值.（2）由（1）可得到f（x）的表达式，然后对其求导，由或，可得到函数的单调增区间或减区间.（3）求出f（x）的最小值﹣3﹣c，已知条件式f（x）≥﹣2c2恒成立可转化为﹣3﹣c≥﹣2c2，解得c即可.

试题解析：解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，因此b﹣c=﹣3﹣c，从而b=﹣3。2分

又对f（x）求导得=x3（4alnx+a+4b），

由题意f'（1）=0，因此a+4b=0，得a=12 4分

（2）由（1）知f'（x）=48x3lnx（x＞0），令f'（x）=0，解得x=1

当0＜x＜1时，f'（x）＜0， f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0， f（x）单调递增，

故 f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞） 8分

（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，此极小值也是最小值，

要使f（x）≥﹣2c2（x＞0）恒成立，只需﹣3﹣c≥﹣2c2 10分

即2c2﹣c﹣3≥0，从而（2c﹣3）（c+1）≥0，解得或c≤﹣1

所以c的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪12分