Question

如图点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动，则下列命题：
①DP⊥BC₁；
②三棱锥A-D₁PC的体积不变；
③面PDB₁⊥面ACD₁；
④A₁P∥面ACD₁．
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：利用正方体的性质结合空间线面位置关系求解．

解答： 解：对于①，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁，
若DP⊥BC₁，则BC₁⊥平面DCP，
BC₁⊥PC，则P为中点，与P为动点矛盾，故①错误；
对于②，由题意知AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，
故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离均相等，
所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变，故②正确；
对于③，连接DB₁，由DB₁⊥AC且DB₁⊥AD₁，
可得DB₁⊥面ACD₁，从而由面面垂直的判定知，故③正确．
对于④，连接A₁B，A₁C₁，A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得，故④正确；
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．