Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+

1

2

x，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）若函数g（x）=

4x

4x+2

，令b_n=g（

an

2015

）（n∈N^*）求数列{b_n}的前2014项的和T₂₀₁₄．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于点（n，S_n）在f（x）的图象上，可得Sn=

1

2

n2+

1

2

n，利用“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1；当n=1时，a₁=S₁，”即可得出；
（2）由于g(x)=

4x

4x+2

，且g（x）+g（1-x）=1，由（1）知a_n=n，可得bn=g(

n

2015

)，即可得出．

解答： 解：（1）∵点（n，S_n）在f（x）的图象上，
∴Sn=

1

2

n2+

1

2

n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n；
当n=1时，a₁=S₁=1，适合上式，
∴a_n=n（n∈N*）．
（2）∵g(x)=

4x

4x+2

，且g（x）+g（1-x）=1，
由（1）知a_n=n，
∴bn=g(

n

2015

)，
∴T2014=b1+b2+…+b2014=g(

1

2015

)+g(

2

2015

)+…+g(

2014

2015

)…①
T2014=b2014+b2013+…+b1=g(

2014

2015

)+g(

2013

2015

)+…+g(

1

2015

)…②
①+②得2T2014=2014(g(

1

2015

)+g(

2014

2015

))=2014，
∴T₂₀₁₄=1007．

点评：本题考查了递推式的应用、函数的性质、“倒序相加法”，考查了推理能力与计算能力，属于难题．