Question

(2014·成都模拟)已知函数f(x)=x²++alnx(x>0).
(1)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
(2)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x₁,x₂总有不等式[f(x₁)+f(x₂)]≥f成立,则称函数y=f(x)为区间D上的“凹函数”.试证当a≤0时,f(x)为“凹函数”.

Answer 1

（1）a≥0   （2）见解析

(1)由f(x)=x²++alnx,
得f′(x)=2x-+.
因为函数为[1,+∞)上的单调增函数.
则f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,
即不等式2x-+≥0在[1,+∞)上恒成立.
即a≥-2x²在[1,+∞)上恒成立.
令φ(x)=-2x²,上述问题等价于a≥φ(x)_max,而φ(x)=-2x²为[1,+∞)上的减函数,则φ(x)_max=φ(1)=0,于是a≥0为所求.
(2)由f(x)=x²++alnx得
=(+)++(lnx₁+lnx₂)
=(+)++aln,
f=++aln,
而(+)≥[(+)+2x₁x₂]=,　①
又(x₁+x₂)²=(+)+2x₁x₂≥4x₁x₂,
所以≥.　②
因为≤,所以ln≤ln,
因为a≤0,所以aln≥aln,　③
由①②③得(+)++aln≥++aln,
即≥f,
从而由凹函数的定义可知a≤0时,函数f(x)为凹函数.