Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求证：PB⊥平面EFD；
（3）在线段AB上是否存在点M，使PM与平面PDB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{38}}}{19}$？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意连接AC，AC交BD于O，连接EO，则EO是中位线，证出PA∥EO，由线面平行的判定定理知PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥底面ABCD，得PD⊥DC，再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC，则有DE⊥PB，再由条件证出PB⊥平面EFD；
（3）以D点为原点建立如图所示的直角坐标系，得到D，P，A，B的坐标，设出M的坐标，进一步得到所用向量的坐标，然后结合PM与平面PDB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{38}}}{19}$求得M的坐标，说明结论成立，并求出AM的长．

解答 （1）证明：如图所示，连接AC，AC交BD于点O，连接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO．
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?平面ABCD，∴PD⊥DC．
∵PD=DC，∴△PDC是等腰直角三角形．
又DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①
由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC．
又PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC．
又DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC．
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB．
又EF⊥PB，且DE∩EF=E，∴PB⊥平面EFD；
（3）解：以D点为原点建立如图所示的直角坐标系
设M点坐标为（1，a，0）（0≤a≤1），则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），
则$\overrightarrow{PD}=（0，0，-1），\overrightarrow{DB}=（1，1，0）$，$\overrightarrow{PM}=（{1，a，-1}）$．
设平面PDB的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\end{array}\right.$，取y=-1，得$\overrightarrow{n}=（1，-1，0）$．
由|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PM}|}$|=|$\frac{1-a}{\sqrt{2}•\sqrt{{a}^{2}+2}}$|=$\frac{\sqrt{38}}{19}$，解得：a=$\frac{1}{3}$或a=$\frac{11}{5}$（舍）．
∴在线段AB上存在点M，使PM与平面PDB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{38}}}{19}$，此时AM=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了线线、线面平行和垂直的相互转化，通过中位线证明线线平行，再由线面平行的判定得到线面平行；垂直关系的转化是由线面垂直的定义和判定定理实现，训练了利用空间向量求线面角，是中档题．