题目内容
(本小题满分14分)
设函数的定义域为R,当x<0时,>1,且对任意的实数x,y∈R,有.
(1)求,判断并证明函数的单调性;
(2)数列满足,且,
①求通项公式;
②当时,不等式对不小于2的正整数
恒成立,求x的取值范围.
设函数的定义域为R,当x<0时,>1,且对任意的实数x,y∈R,有.
(1)求,判断并证明函数的单调性;
(2)数列满足,且,
①求通项公式;
②当时,不等式对不小于2的正整数
恒成立,求x的取值范围.
f(x)在R上减函数
(1,+∞)
(1,+∞)
解:(1) 时,f(x)>1;
令x=-1,y=0则f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1,
∴f(0)="1" . ……………………………2分
若x>0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故,
故x∈R f(x)>0.…………………………………………………4分
任取x1<x2,,
,
故f(x)在R上减函数.……………………………6分
(2) ① ,…………8分
由f(x)单调性得 an+1=an+2 , 故{an}等差数列 , .………………9分
②,
是递增数列.………………………11分
当n≥2时,,,……………………………12分
即.
而a>1,∴x>1,
故x的取值范围(1,+∞).……………………………14分
令x=-1,y=0则f(-1)=f(-1)f(0)∵f(-1)>1,
∴f(0)="1" . ……………………………2分
若x>0,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)故,
故x∈R f(x)>0.…………………………………………………4分
任取x1<x2,,
,
故f(x)在R上减函数.……………………………6分
(2) ① ,…………8分
由f(x)单调性得 an+1=an+2 , 故{an}等差数列 , .………………9分
②,
是递增数列.………………………11分
即.
而a>1,∴x>1,
故x的取值范围(1,+∞).……………………………14分
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