题目内容
【题目】如图,已知椭圆(a>b>0)的离心率
,过点
和
的直线与原点的距离为
.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知定点,若直线
与椭圆交于C、D两点.问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?请说明理由.
【答案】(1);(2)存在
,使得以
为直径的圆过点
.
【解析】
试题分析:(1)由两点的坐标可得直线
方程,根据点到线的距离公式可得
间的关系式,再结合离心率及
可解得
的值.(2)将直线方程与椭圆方程联立消去
整理为关于
的一元二次方程.根据有2个交点可知其判别式大于0得
的范围.由上式可得两根之和,两根之积.以
为直径的圆过点
时
,根据直线垂直斜率相乘等于
可得
的值.若满足前边判别式大于0得的
的范围说明存在,否则说明不存在.
试题解析:解:解析:(1)直线方程为:
.
依题意 解得
∴ 椭圆方程为.
(2)假若存在这样的值,由
得
.
∴ ①
设,
、
,
,则
②
而.
要使以为直径的圆过点
,当且仅当
时,则
,即
∴ ③
将②式代入③整理解得.经验证,
,使①成立.
综上可知,存在,使得以
为直径的圆过点
.
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