题目内容
【题目】设椭圆C: 的一个顶点与抛物线
的焦点重合,
分别是椭圆的左、右焦点,且离心率
,过椭圆右焦点
的直线l与椭圆C交于
两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若,求直线l的方程;
(3)若是椭圆C经过原点O的弦,
,求证:
为定值.
【答案】(1) ;(2) y=
(x-1)或y=-
(x-1);(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意,椭圆的标准方程为+
=1;(2)设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
·
=x1x2+y1y2=-2,利用韦达定理,解得答案;(3)|MN|=
|x1-x2|,|AB|=
|x3-x4|,代入韦达定理计算,得到答案。
试题解析:
(1)椭圆的顶点为(0,),即b=
,e=
=
,∴a=2,∴椭圆的标准方程为
+
=1.
(2)由题可知,直线l与椭圆必相交.
①当直线斜率不存在时,经检验不合题意.
②当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0),
且M(x1,y1),N(x2,y2).
由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,x1+x2=
,x1x2=
,
·
=x1x2+y1y2=x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]
=+k2
==-2,解得k=±
,
故直线l的方程为y= (x-1)或y=-
(x-1).
(3)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4),
由(2)可得|MN|=|x1-x2|
=
=
=,
由消去y并整理得x2=
,
|AB|=|x3-x4|=4
,
∴=
=4,为定值.
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