题目内容
5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=loga(x+1),(a>0,且a≠1).(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.
分析 (1)设任意的x<0,则-x>0,利用奇偶性求出x<0时的函数解析式,最后用分段函数表示即可;
(2)由-1<f(1)<1,可得-1<loga2<1,分类讨论,求实数a的取值范围.
解答 解:(1)设任意的x<0,则-x>0,…(1分)
由题,f(-x)=loga(-x+1)
又∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(-x)=f(x)…(3分)
∴当x<0,f(x)=loga(-x+1)…(5分)
∴函数f(x)的解析式为$f(x)=\left\{\begin{array}{l}lo{g_a}({x+1}),x≥0\\ lo{g_a}({-x+1}),x<0\end{array}\right.$…(6分)
(2)∵-1<f(1)<1,∴-1<loga2<1,
∴${log_a}\frac{1}{a}<{log_a}2<{log_a}a$…(7分)
①当a>1时,原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}<2\\ a>2\end{array}\right.$
解得a>2…(9分)
②当0<a<1时,原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}>2\\ a<2\end{array}\right.$
解得 $0<a<\frac{1}{2}$…(11分)
综上,实数a的取值范围为$\{a|0<a<\frac{1}{2}或a>2\}$…(12分)
点评 本题主要考查了利用奇偶性求函数的解析式,以及对数的运算性质,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目
8.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}\\;(x≥0)}\\{lo{g}_{3}(-x)\\;(x<0)}\end{array}\right.$.若函数g(x)=f2(x)+f(x)+t,(t∈R),则下列说法中不正确的是( )
A. | 当t<-2时,则函数g(x)有四个零点 | B. | 当t=-2时,则函数g(x)有三个零点 | ||
C. | 当t=$\frac{1}{4}$时,则函数g(x)有一个零点 | D. | 当-2<t<$\frac{1}{4}$时,则函数g(x)有两个零点 |
10.经过点P(3,-1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是( )
A. | $\frac{x^2}{10}-\frac{y^2}{10}$=1 | B. | $\frac{y^2}{10}-\frac{x^2}{10}$=1 | C. | $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}$=1 | D. | $\frac{y^2}{8}-\frac{x^2}{8}=1$ |
14.若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1(a>0,b>0)上存在一点P满足|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. | (1,$\frac{\sqrt{5}}{2}$] | B. | (1,$\frac{\sqrt{7}}{2}$] | C. | [$\frac{\sqrt{5}}{2}$,+∞) | D. | [$\frac{\sqrt{7}}{2}$,+∞) |