题目内容

5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且x≥0时,f(x)=loga(x+1),(a>0,且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若-1<f(1)<1,求实数a的取值范围.

分析 (1)设任意的x<0,则-x>0,利用奇偶性求出x<0时的函数解析式,最后用分段函数表示即可;
(2)由-1<f(1)<1,可得-1<loga2<1,分类讨论,求实数a的取值范围.

解答 解:(1)设任意的x<0,则-x>0,…(1分)
由题,f(-x)=loga(-x+1)
又∵f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f(-x)=f(x)…(3分)
∴当x<0,f(x)=loga(-x+1)…(5分)
∴函数f(x)的解析式为$f(x)=\left\{\begin{array}{l}lo{g_a}({x+1}),x≥0\\ lo{g_a}({-x+1}),x<0\end{array}\right.$…(6分)
(2)∵-1<f(1)<1,∴-1<loga2<1,
∴${log_a}\frac{1}{a}<{log_a}2<{log_a}a$…(7分)
①当a>1时,原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}<2\\ a>2\end{array}\right.$
解得a>2…(9分)
②当0<a<1时,原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}>2\\ a<2\end{array}\right.$
解得 $0<a<\frac{1}{2}$…(11分)
综上,实数a的取值范围为$\{a|0<a<\frac{1}{2}或a>2\}$…(12分)

点评 本题主要考查了利用奇偶性求函数的解析式,以及对数的运算性质,属于中档题.

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