Question

14．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上存在一点P满足|OP|为边长的正方形的面积等于2ab（其中O为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{\sqrt{5}}{2}$]
• B． （1，$\frac{\sqrt{7}}{2}$]
• C． [$\frac{\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• D． [$\frac{\sqrt{7}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 设P（x，y），由以|OP|为边长的正方形面积等于2ab，可得x²+y²=2ab，从而可得x²=$\frac{（2ab+{b}^{2}）{a}^{2}}{{c}^{2}}$≥a²，即可求出双曲线离心率的取值范围．

解答 解：由题意，设P（x，y），则
∵以|OP|为边长的正方形面积等于2ab，
∴x²+y²=2ab，
∴x²+b²（$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=2ab，
∴x²=$\frac{（2ab+{b}^{2}）{a}^{2}}{{c}^{2}}$≥a²，
∴2ab+b²≥c²，
∴2b≥a，
∴4（c²-a²）≥a²，
∴e≥$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，确定x²=$\frac{（2ab+{b}^{2}）{a}^{2}}{{c}^{2}}$≥a²是关键．