题目内容
8．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}\\;（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）\\;（x＜0）}\end{array}\right.$．若函数g（x）=f2（x）+f（x）+t，（t∈R），则下列说法中不正确的是（ ）| A． | 当t＜-2时，则函数g（x）有四个零点 | B． | 当t=-2时，则函数g（x）有三个零点 | ||
| C． | 当t=$\frac{1}{4}$时，则函数g（x）有一个零点 | D． | 当-2＜t＜$\frac{1}{4}$时，则函数g（x）有两个零点 |
分析 作出函数f（x）的图象，令m=f（x），可得m≥1时，m=f（x）有两根，m＜1时，m=f（x）有一根，根据二次函数的图象和性质分析t取不同值时，g（x）=m2+m+t根的个数及分面情况，综合讨论可得．
解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}\\;（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）\\;（x＜0）}\end{array}\right.$的图象如图所示，
令m=f（x），m≥1时，m=f（x）有两根，m＜1时，m=f（x）有一根，
若t＜-2，则g（x）=m2+m+t=0有两个根，一个大于1，一个小于1
此时，g（x）=0有三个根，故A错误；
若t=-2，则g（x）=f2（x）+f（x）-2=（m+2）（m-1）=0
此时m=-2，m=1，此时g（x）=0有三个根，
即g（x）有三个零点，故B正确；
若t=$\frac{1}{4}$，则g（x）=f2（x）+f（x）+$\frac{1}{4}$=（m+$\frac{1}{2}$）2=0
此时m=-$\frac{1}{2}$，由上图可得，此时函数m=0有一个根，
即g（x）有一个零点，故C正确；
若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，则g（x）=m2+m+t=0有两个根，但均小于1
此时，g（x）=0有两个根，故D正确．
故选：A
点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，函数形结合并熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键，属中档题．
练习册系列答案
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18．若α∈（0，π），且$\sqrt{2}$cos2α=sin（$\frac{9π}{4}$-α），则sin2α的值为（ ）
| A． | $\frac{3}{4}$ | B． | -$\frac{3}{4}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |