Question

【题目】已知 和 。试问：当且仅当、满足什么条件时，对上任意一点，均存在以为顶点、与外切、与 内接的平行四边形？并证明你的结论。

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

所求条件为 .

必要性，易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.

假设结论成立，则对点，有为顶点的菱形与内接，与 外切.

的相对顶点为.由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在轴上，为和 .菱形一条边的方程为，即 .由菱形与外切，故必有，整理得 .

充分性.设 ，是上任意一点，过、 作的弦，再过作与垂直的弦 ，则为与内接的菱形.设 ，，则点的坐标为，点的坐标为.

代入椭圆方程得， .

于是，

.

在中，设点到的距离为 ，则，故得 .

同理，点 到的距离也为1，故菱形 与外切.