Question

【题目】已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于两点，与椭圆相交于两点，当且时，求的面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

【解析】分析：（1）由知是中点，从而得轴，因此得，再把点坐标代入椭圆方程再结合可解得得椭圆方程；

（2）设直线的方程为，，，代入圆方程可得，计算，由可解得，设，把代入椭圆方程可得，由计算出面积，最后根据的范围得面积的范围.

详解：（1）∵，则为线段的中点，∴是的中位线，

又，∴，于是，且，解得，，

∴椭圆的标准方程为．

（2）由（1）知，，由题意，设直线的方程为，，，

由得，则，．

．

∵，∴，解得．

由消得，设，，

则 ．

设，则，其中，

∵关于在上为减函数，∴，即的面积的取值范围为．