Question

【题目】设函数f（x）=（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．
（1）若函数f（x）在x=e处的切线与y轴相交于点（0，2﹣e），求a的值；
（2）当1＜x＜2时，求证： ＞ ﹣ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+ +1﹣a，x∈（0，+∞）

由题意可知： =f′（e），

整理得：e+1﹣a（e﹣1）﹣（2﹣e）=e（1+ +1﹣a），解得a=2

（2）证明：（2）当a=2时，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），

f′（x）=lnx+ ﹣1，f″（x）= ＞0，

∴f′（x）在（1，2）递增，∴f′（x）＞f′（1）=0，

∴f（x）在（1，2）上是增函数，

∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x﹣1），

∴ ＜ ，①

∵1＜x＜2，

∴0＜2﹣a＜1， ＞1，

∴ ＜ = ，

即﹣ ＜ ，②

①+②得： ﹣ ＜ + =

【解析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求出函的切线斜率，即可求得a的值；（2）a=2时，f（x）=（x+1）lnx﹣2（x﹣1），得到f（x）在（1，2）上是增函数，可知（x+1）lnx＞2（x﹣1），即 ＜ 利用函数的单调性，求得﹣ ＜ ，根据对数函数的运算即可证明不等式成立．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．