题目内容
【题目】如图，在多面体
中，四边形
为直角梯形， 
， 
， 
， 
，四边形
为矩形.
（1）求证：平面
平面
；
（2）线段
上是否存在点
，使得二面角
的大小为
？若存在，确定点
的位置并加以证明.
【答案】（1）见解析（2）点
为线段
的中点
【解析】试题分析：（1）先根据勾股定理得
，再由矩形性质得
，由线面垂直判定定理得
，最后根据面面垂直判定定理得结论 （2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解各平面法向量，根据向量数量积两法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求点
坐标，即得点
的位置
试题解析：（1）证明：由平面几何的知识，易得
， 
，
又
，所以在
中，满足
，所以
为直角三角形，且
.
因为四边形
为矩形，
所以
.
由
， 
， 
，
可得 
.
又
，
所以平面
平面
.
（2）存在点
为大小为
，点
为线段
的中点.
事实上，以
为原点， 
为
轴， 
为
轴，过
作平面
的垂线为
轴，建立空间直角坐标系
，
则
, 
，
设
,由
，
即
，得
.
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
不妨设
，取
.
平面
的一个法向量为
.
二面角
为大小为
于是
.
解得 
或
（舍去）.
所以当点
为线段
的中点时，二面角
为大小为.
寒假学与练系列答案
【题目】近年来城市“共享单车”的投放在我国各地迅猛发展，“共享单车”为人们出行提供了很大的便利，但也给城市的管理带来了一些困难，现某城市为了解人们对“共享单车”投放的认可度，对
年龄段的人群随机抽取
人进行了一次“你是否赞成投放共享单车”的问卷调查，根据调查结果得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
组号 | 分组 | 赞成投放的人数 | 赞成投放的人数占本组的频率 |
第一组 |
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第二组 |
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第三组 |
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第四组 |
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第五组 |
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第六组 |
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|
（
）求
， 
， 
的值．
（
）在第四、五、六组“赞成投放共享单车”的人中，用分层抽样的方法抽取
人参加“共享单车”骑车体验活动，求第四、五、六组应分别抽取的人数．
（
）在（
）中抽取的
人中随机选派
人作为领队，求所选派的
人中第五组至少有一人的概率．
【题目】《城市规划管理意见》中提出“新建住宅原则上不再建设封闭住宅小区，已建成的住宅小区和单位大院逐步打开”，此消息在网上一石激起千层浪．各种说法不一而足，为了了解居民对“开放小区”认同与否，从[25，55]岁人群中随机抽取了n人进行问卷调查，得如下数据：
组数 | 分组 | 认同人数 | 认同人数占 |
第一组 | [25，30） | 120 | 0.6 |
第二组 | [30，35） | 195 | p |
第三组 | [35，40） | 100 | 0.5 |
第四组 | [40，45） | a | 0.4 |
第五组 | [45，50） | 30 | 0.3 |
第六组 | [50，55） | 15 | 0.3 |
（1）完成所给频率分布直方图，并求n，a，p．
（2）若从[40，45），[45，50）两个年龄段中的“认同”人群中，按分层抽样的方法抽9人参与座谈会，然后从这9人中选2名作为组长，组长年龄在[40，45）内的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列和期望．
