题目内容
【题目】椭圆的离心率是
,过点
的动直线
与椭圆相交于
两点,当直线
与
轴平行时,直线
被椭圆
截得的线段长为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)在轴上是否存在异于点
的定点
,使得直线
变化时,总有
?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在定点
满足题意.
【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率是
,直线
被椭圆
截得的线段长为
列方程组求出
,从而可得椭圆
的标准方程;(2)设直线
方程为
,由
得
,
,根据韦达定理及斜率公式可得
,令
,可得
符合题意.
试题解析:(1)∵,∴
,
椭圆方程化为: ,由题意知,椭圆过点
,
∴,解得
,
所以椭圆的方程为:
;
(2)当直线斜率存在时,设直线
方程:
,
由得
,
,
设,
假设存在定点符合题意,∵
,∴
,
∴
,
∵上式对任意实数恒等于零,∴
,即
,∴
,
当直线斜率不存在时,
两点分别为椭圆的上下顶点
,
显然此时,综上,存在定点
满足题意.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目