Question

15．数列1，2+$\frac{1}{2}$，3+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$，…，n+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$的前n项和为$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-2．

Answer 1

分析 利用等比数列的求和公式可知a_n=n+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=n+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，进而计算可得结论．

解答 解：由题可知通项a_n=n+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
=n+$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=n+1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，
∴所求值为（1+2+3+…+n）+n-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）
=$\frac{n（n+1）}{2}$+n-$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-2，
故答案为：$\frac{1}{2}$n²+$\frac{3}{2}$n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．