题目内容

【题目】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.

(1)证明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ,求线段AM的长.

【答案】
(1)证明:以点A为原点建立空间直角坐标系,如图,

依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).

=0.

所以B1C1⊥CE;


(2)解:

设平面B1CE的法向量为

,即 ,取z=1,得x=﹣3,y=﹣2.

所以

由(1)知B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,所以B1C1⊥平面CEC1

为平面CEC1的一个法向量,

于是 =

从而 = =

所以二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值为


(3)解:

0≤λ≤1,

为平面ADD1A1的一个法向量,

设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角,

=

=

于是

解得 .所以

所以线段AM的长为


【解析】(1)由题意可知,AD,AB,AA1两两互相垂直,以a为坐标原点建立空间直角坐标系,标出点的坐标后,求出 ,由 得到B1C1⊥CE;(2)求出平面B1CE和平面CEC1的一个法向量,先求出两法向量所成角的余弦值,利用同角三角函数基本关系求出其正弦值,则二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值可求;(3)利用共线向量基本定理把M的坐标用E和C1的坐标及待求系数λ表示,求出平面ADD1A1的一个法向量,利用向量求线面角的公式求出直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值,代入 求出λ的值,则线段AM的长可求.

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