题目内容
【题目】设直线l的方程是x+my+2 
=0，圆O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．
（1）当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点，求r的取值范围；
（2）r=5时，求直线l被圆O截得的弦长的取值范围；
（3）当r=1时，设圆O与x轴相交于P，Q两点，M是圆O上异于P，Q的任意一点，直线PM交直线l′：x=3于点P′，直线QM交直线l′于点Q′．求证：以P′Q′为直径的圆C总经过定点，并求出定点坐标．
【答案】
（1）解：直线l过定点（﹣2 
，0），当m取一切实数时，直线l与圆O都有公共点等价于点（﹣2 ，0）在圆O内或在圆O上，
所以12+0≤r2，解得r≥2 ．
所以r的取值范围是[2 ，+∞）
（2）解：设坐标为（﹣2 ，0）的点为点A，则|OA|=2 ．
则当直线l与OA垂直时，由垂径定理得直线l被圆O截得的弦长为l=2 
=2 
；
当直线过圆心时，弦长最大，即x轴被圆O截得的弦长为2r=10；
所以直线l被圆O截得的弦长的取值范围是[2 ，10]
（3）证明：对于圆O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．
又直线l方程为x=3，设M（s，t），
则直线PM方程为y= 
（x+1）．
令x=3，得P'（3， 
），
同理可得：Q'（3， 
）．
所以圆C的圆心C的坐标为（3， 
），半径长为| 
|，
又点M（s，t）在圆上，又s2+t2=1．故圆心C为（3， 
），半径长| 
|．
所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣ ）2=（ ）2，
又s2+t2=1，
故圆C的方程为（x﹣3）2+y2﹣ 
﹣8=0，
令y=0，则（x﹣3）2=8，
所以圆C经过定点，y=0，则x=3±2 
，
所以圆C经过定点且定点坐标为（3±2 ，0）
【解析】（1）只需直线所过的定点在圆内，即可使得m取一切值时，直线与圆都有公共点；（2）显然定点与圆心的连线垂直于直线时，弦长最短，直线过圆心时，弦长为直径最大．（3）由已知我们易求出P，Q两个点的坐标，设出M点的坐标，我们可以得到点P′与Q′的坐标（含参数），进而得到以P′Q′为直径的圆的方程，根据圆的方程即可判断结论．
