Question

【题目】已知函数y=f（x）对于任意x∈R有 ，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，则以下命题正确的是： ①函数数y=f（x）是周期为2的偶函数；
②函数y=f（x）在[2，3]上单调递增；
③函数 的最大值是4；
④若关于x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，则实数m的范围是[0，2]；
⑤当x1 ， x2∈[1，3]时， ．
其中真命题的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：∵ ， ∴f（x+2）=﹣ =f（x），
∴f（x）是周期为2的函数，故①正确；
又因为当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2+1，可知f（x）的图象，由图象可知②正确；
由图象可知f（x）=t∈[1，2]，函数 在[1，2]上单调递减，所以最大值为5，最小值为4，故③错误；
因为x的方程[f（x）]2﹣f（x）﹣m=0有实根，所以[f（x）]2﹣f（x）=m，因为f（x）∈[1，2]，所以[f（x）]2﹣f（x）∈[0，2]，故m的范围是[0，2]，故④正确；
⑤由图象可知当x1 ， x2∈[1，3]时， ，故⑤错误．
所以答案是：①②④．