Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣axlnx．

（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（2）证明：对于a∈（0，e），函数f（x）在区间（）上单调递增．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）利用导数的几何意义：切线斜率k=f′（1）,切点（1，f(1)）,由点斜式可得切线方程；

（2）求导，通过研究导函数的符号证明函数的单调性即可．

（1）当a=1时，f（x）=ex﹣xlnx（x＞0）

∴f′（x）=ex﹣lnx﹣1，

∴f′（1）=e﹣1，

又∵f（1）=e，

∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为y﹣e=（e﹣1），即y=（e﹣1）x+1

（2）∵f（x）=ex﹣axlnx，a∈（0，e），x∈（，1），

∴f′（x）=ex﹣a（1+lnx），

①当1+lnx≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（，1）上单调递增；

②当1+lnx＞0即1≤a＜e时，令g（x）=，

∴g′（x）==，

令h（x）=lnx﹣+1，x∈（，1），

显然h（x）在（，1）上单调递增，且h（1）=0，

∴h（x）＜0在x∈（，1）上恒成立，∴g′（x）＜0在x∈（，1）上恒成立，

故g（x）在（，1）上单调递减，

又g（1）=e，∴g（x）＞g（1）=e在x∈（，1）上恒成立，

又1≤a＜e，∴a＜g（x）=，

∴ex﹣a（1+lnx）＞0，

所以f（x）在区间（，1）上单调递增．

综上可知，对a∈（0，e），函数f（x）在区间（，1）上单调递增．