题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex﹣axlnx.
(1)当a=1时,求曲线f(x)在x=1处的切线方程;
(2)证明:对于a∈(0,e),函数f(x)在区间()上单调递增.
【答案】(1); (2)见解析.
【解析】
(1)利用导数的几何意义:切线斜率k=f′(1),切点(1,f(1)),由点斜式可得切线方程;
(2)求导,通过研究导函数的符号证明函数的单调性即可.
(1)当a=1时,f(x)=ex﹣xlnx(x>0)
∴f′(x)=ex﹣lnx﹣1,
∴f′(1)=e﹣1,
又∵f(1)=e,
∴曲线f(x)在x=1处的切线方程为y﹣e=(e﹣1),即y=(e﹣1)x+1
(2)∵f(x)=ex﹣axlnx,a∈(0,e),x∈(,1),
∴f′(x)=ex﹣a(1+lnx),
①当1+lnx≤0时,f′(x)>0恒成立,f(x)在(,1)上单调递增;
②当1+lnx>0即1≤a<e时,令g(x)=,
∴g′(x)==
,
令h(x)=lnx﹣+1,x∈(
,1),
显然h(x)在(,1)上单调递增,且h(1)=0,
∴h(x)<0在x∈(,1)上恒成立,∴g′(x)<0在x∈(
,1)上恒成立,
故g(x)在(,1)上单调递减,
又g(1)=e,∴g(x)>g(1)=e在x∈(,1)上恒成立,
又1≤a<e,∴a<g(x)=,
∴ex﹣a(1+lnx)>0,
所以f(x)在区间(,1)上单调递增.
综上可知,对a∈(0,e),函数f(x)在区间(,1)上单调递增.

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