题目内容
【题目】如图，在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，AC= 
，BC=2，AA1= 
，点P为CC1的中点． 
（1）求证：A1C⊥平面ABP；
（2）求平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．
【答案】
（1）证明：在侧棱和底面垂直的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
∵AB平面ABC，∴AA1⊥AB，
∵AB=1，AC= 
，BC=2，AA1= 
，点P为CC1的中点，
∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，
又AA1∩AC=A，∴AB⊥A1C，
在矩形ACC1A1中，A1C= 
=3，AP= 
= 
，
在Rt△A1CA中，sin∠A1CA= 
= 
，
在Rt△PAC中，cos 
= ，
∴sin∠A1CA=cos∠PAC，∴∠PAC+∠A1CA=90°，
∴A1C⊥AP，
∵AP∩AB=A，∴A1C⊥平面ABP
（2）解：由（1）知AB⊥AC，AA1⊥AB，AA1⊥AC，
以A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），A1（0，0， ），C（0， ，0），P（0， ， 
），
=（1，0，0）， 
，
设平面A1B1P的法向量为 
=（x，y，z），
则 
，
令y=1，得 =（0，1， 
），
由（1）知平面ABP的一个法向量为 
=（0，﹣ ， ），
∴cos＜ 
＞= 
= 
= 
，
∴sin＜ ＞= 
= 
．
即平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值为 ．
【解析】（1）推导出AA1⊥AB，AB⊥AC，从而AB⊥A1C，再推导出A1C⊥AP，由此能证明A1C⊥平面ABP．（2）以A为坐标原点，以AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ABP与平面A1B1P所成二面角的正弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．
