Question

【题目】数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（I）∵an+1=2Sn ，
∴Sn+1﹣Sn=2Sn ，
∴ =3．
又∵S1=a1=1，
∴数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列，Sn=3n﹣1（n∈N*）．
∴当n≥2时，an﹣2Sn﹣1=23n﹣2（n≥2），
∴an=
（II）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan ，
当n=1时，T1=1；
当n≥2时，Tn=1+430+631+…+2n3n﹣2 ， ①3Tn=3+431+632+…+2n3n﹣1 ， ②
①﹣②得：﹣2Tn=﹣2+4+2（31+32+…+3n﹣2）﹣2n3n﹣1=2+2 =﹣1+（1﹣2n）3n﹣1
∴Tn= +（n﹣ ）3n﹣1（n≥2）．
又∵Tn=a1=1也满足上式，∴Tn= +（n﹣ ）3n﹣1（n∈N*）
【解析】（I）利用递推公式an+1=2Sn把已知转化为Sn+1与Sn之间的关系，从而确定数列an的通项；（II）由（I）可知数列an从第二项开始的等比数列，设bn=n则数列bn为等差数列，所以对数列nan的求和应用乘“公比”错位相减．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．