题目内容
【题目】已知函数(其中
,
),记函数
的导函数为
.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数,使得
对任意正实数
恒成立?若存在,求出满足条件的实数
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)的单调减区间为
,无递增区间;(2)见解析
【解析】
(I)求得也即
的表达式,对
求导,由此求得
的单调区间.(II)解法一:利用
的单调性,求得
的零点
,由此求得关于
的关系式.由于
是
的导函数,根据
的单调性,可求得
的最大值,利用这个最大值列不等式,用基本不等式等号成立的条件,求得
的值.解法二:对
分成
或
两类,利用求出的
的范围比较后求得
的值.
(Ⅰ),
∴,∵
,
,∴
恒成立,
∴的单调减区间为
,无递增区间;
(Ⅱ)解法一:由(Ⅰ)知在
上单调递减,所以
在
上必存在实数根,不妨记
,即
,可得
(*)
当时,
,即
,当
时,
,即
,
所以在
上单调递增,在
上单调递减,
所以,
把(*)式代入可得,
依题意恒成立,又由基本不等式有
,当且仅当
时等号成立,解得
,所以
.
代入(*)式得,,所以
,又∵
,所以解得
.
综上所述,存在实数,使得
对任意正实数
恒成立
解法二:要使对
恒成立,
①即
时,
,解得
,所以
,
②即
时,
,解得
,所以
,
依题意可知,①、②应同时成立,则,又∵
,所以解得
.
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