题目内容
【题目】对于区间[a,b](a<b),若函数同时满足:①
在[a,b]上是单调函数,②函数
在[a,b]的值域是[a,b],则称区间[a,b]为函数
的“保值”区间
(1)求函数的所有“保值”区间
(2)函数是否存在“保值”区间?若存在,求
的取值范围,若不存在,说明理由
【答案】(1); (2)
.
【解析】
(1)由已知中的保值区间的定义,结合函数的值域是
,可得
,从而函数
在区间
上单调,列出方程组,可求解;
(2)根据已知保值区间的定义,分函数在区间
上单调递减和函数
在区间
单调递增,两种情况分类讨论,即可得到答案.
(1)因为函数 的值域是
,且
在
的最后综合讨论结果,
即可得到值域是 ,所以
,所以
,从而函数
在区间
上单调递增,
故有,解得
.
又 ,所以
.所以函数
的“保值”区间为
.
(2)若函数存在“保值”区间,则有:
①若,此时函数
在区间
上单调递减,
所以 ,消去
得
,整理得
.
因为,所以
,即
.又
,所以
.
因为 ,所以
.
②若 ,此时函数
在区间
上单调递增,
所以,消去
得
,整理得
.
因为,所以
,即
.
又 ,所以
.
因为 ,所以
.
综合①、②得,函数存在“保值”区间,此时
的取值范围是
.
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练习册系列答案
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x | … | 0.5 | 1 | 1.5 | 1.7 | 1.9 | 2 | 2.1 | 2.2 | 2.3 | 3 | 4 | 5 | 7 | … |
y | … | 8.5 | 5 | 4.17 | 4.05 | 4.005 | 4 | 4.005 | 4.02 | 4.04 | 4.3 | 5 | 5.8 | 7.57 | … |
请观察表中y值随x值变化的特点,完成以下的问题:
(1)函数(x>0)在区间(0,2)上递减;函数
在区间________上递增.当x=_________时,
_______.
(2)证明:函数(x>0)在区间(O,2)上递减.