题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
⊥平面
,底面
为梯形,
,
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)证明:∥平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】【试题分析】(I)取的中点
,连接
通过证明四边形
为平行四边形,由此证得
,进而证明
平面
.(II)以
为坐标原点建立空间直角坐标系,通过计算平面
的法向量与直线
的方向向量来计算线面角的正弦值.
【试题解析】
(Ⅰ)证明:设F为PD的中点,连接EF,FA.
因为EF为的中位线,所以EF∥CD,且EF=
.
又AB∥CD,AB=2,所以ABEF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.
又 AF平面PAD,BE
平面PAD,所以BE∥平面PAD
(Ⅱ)解:设G为AB的中点,因为AD=AB,,所以
为等边三角形,故DG⊥AB ;因为AB∥CD,所以DG⊥DC;又PD
平面ABCD,所以PD,DG,CD两两垂直
以D为坐标原点,为x轴、
为
轴、
为
轴建立空间直角坐标系
,则
,
,
,
,
设为平面DBE的一个法向量,则
,即
,
令,则
又 ,所以
,
即直线PB与平面BDE所成角的正弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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