题目内容
11.在等差数列{an}中a1=1,Sn为前n项和,且满足S2n-2Sn=n2(n∈N*).(1)求a2及数列{an}的通项公式;
(2)记bn=n•2an,求数列{bn}的前n项和Tn.
分析 (1)在等差数列{an}中a1=1,设公差为d,运用等差数列的求和公式,化简整理,即可得到d=1,再由通项公式可得所求;
(2)求得bn=n•2an=n•2n,运用错位相减法,求和Tn.注意运用等比数列的求和公式.
解答 解:(1)在等差数列{an}中a1=1,设公差为d,
则Sn=na1+$\frac{1}{2}$n(n-1)d=$\frac{d}{2}$n2+(1-$\frac{d}{2}$)n,
S2n=2na1+n(2n-1)d=2dn2+(2-d)n,
由S2n-2Sn=n2(n∈N*).
即有S2-2S1=1,即a1+a2-2a1=1,
可得a2=2,
可得2dn2+(2-d)n-dn2-2n(1-$\frac{d}{2}$)=n2,
即为dn2=n2,
解得d=1,
由等差数列的通项公式
可得an=a1+(n-1)d=1+n-1=n;
(2)bn=n•2an=n•2n,
Tn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,
2Tn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1,
两式相减可得,
-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1
=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n+1,
化简可得Tn=(n-1)•2n+1+2.
点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用,同时考查数列求和方法:错位相减法,以及等比数列的求和公式的运用,属于中档题.
练习册系列答案
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