Question

9．已知 F₁，F₂分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过 F₁，的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若|AB|=|AF₂|，∠F₁AF₂=90°，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\sqrt{6}+\sqrt{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}}{2}$
• D． $\sqrt{5+2\sqrt{2}}$

Answer 1

分析 通过设|AF₂|=t，利用勾股定理及双曲线的定义可得t=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$c，利用离心率的计算公式计算即可．

解答 解：设|AF₂|=t，由题可知：|AB|=t，|BF₂|=$\sqrt{2}$t，
则|AF₁|=$\sqrt{|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}-|A{F}_{2}{|}^{2}}$=$\sqrt{4{c}^{2}-{t}^{2}}$，
由双曲线的定义可知：t-$\sqrt{4{c}^{2}-{t}^{2}}$=t+$\sqrt{4{c}^{2}-{t}^{2}}$-$\sqrt{2}$t，
解得：t=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$c，
∴|AF₁|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$c，
∵|AF₂|-|AF₁|=2a，即（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）c=2a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{\sqrt{6}-\sqrt{3}}$=$\sqrt{6}+\sqrt{3}$，
故选：B．

点评 本题考查考查双曲线的离心率，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．