题目内容
【题目】已知抛物线
上一点
到焦点F的距离
，倾斜角为α的直线经过焦点F，且与抛物线交于两点A、B。
(1)求抛物线的标准方程及准线方程；
(2)若α为锐角，作线段AB的中垂线m交x轴于点P。证明：
。
【答案】（1）抛物线的方程为
，准线方程为
（2）见解析
【解析】
（1）根据抛物线的定义，求得
，由此求得
点坐标，将其代入抛物线方程，解方程求得
的值，进而求得抛物线方程及其准线方程；（2）设出直线
的方程，联立直线方程和抛物线方程，写出韦达定理，由此求得线段中点坐标，进而求得线段中垂线方程，由此求得
点坐标，求出
，由此计算出
.
解：（1）由抛物线的定义知，
将点
代入
，得
.得
∴抛物线的方程为，准线方程为
（2）证：设直线AB与直线m的交点为C.
.直线
由
，消去x得：
。
则
设线段AB中垂线m的方程为：
令
，得：
，则点
【题目】某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续
天的售出和收益情况，如下表：
售出水量 |
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收益 |
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（1）若每天售出
箱水，求预计收益是多少元？
（2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前
名，获一等奖学金
元；考入年级前
名，获二等奖学金
元；考入年级
名以后的特困生不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为
，获二等奖学金的概率均为
，不获得奖学金的概率均为
.
①在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率；
②已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额
的分布列及数学期望
附：
【题目】为了调查中学生每天玩游戏的时间是否与性别有关,随机抽取了男、女学生各50人进行调查,根据其日均玩游戏的时间绘制了如下的频率分布直方图.
（1）求所调查学生日均玩游戏时间在
分钟的人数;
（2）将日均玩游戏时间不低于60分钟的学生称为“游戏迷”,已知“游戏迷”中女生有6人;根据已知条件,完成下面的
列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“游戏迷”和性别关系;
非游戏迷 | 游戏迷 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
附:
(其中
为样本容量).
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
【题目】下表表示的是某款车的车速与刹车距离的关系，试分别就
，
，
三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120km/h时的刹车距离．
车速/（km/h） | 10 | 15 | 30 | 40 | 50 |
刹车距离/m | 4 | 7 | 12 | 18 | 25 |
车速/（（km/h） | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
刹车距离/m | 34 | 43 | 54 | 66 | 80 |
