题目内容
【题目】点与定点
的距离和它到直线
的距离的比是常数
,设点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线
与曲线
交于
,
两点,设
的中点为
,
,
两点为曲线
上关于原点
对称的两点,且
(
),求四边形
面积的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)设出点的坐标,根据题意,列出方程,整理化简即可求得动点的轨迹方程;
(2)设出直线的方程,利用弦长公式求得
,再利用
,建立直线
与
之间的联系,再利用点到直线的距离,以及面积公式,将四边形面积表示为函数形式,求该函数的值域即可.
(1)设动点,则
到直线
的距离
,
由题可知:,即可得
,
两边平方整理可得:
故曲线的方程为:
.
(2)因为,故
两点不可能重合,
则直线的斜率不可能为0,
故可设直线方程为
,
联立椭圆方程,
可得,
设两点坐标分别为
,
则可得,
则
故可得,
因为,故可得
四点共线,
故可得.
不妨设直线方程为
,
,
联立直线与椭圆方程
可得,
设,
则,即
则,即
则点到直线
的距离为:
将代入上式即可得:
,
,
故
又根据弦长公式可得:
故四边形面积
,
因为,则
,
,
故.
故四边形面积的取值范围为
.
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