题目内容
【题目】已知函数,其中
为常数,
为自然对数的底数.
(Ⅰ)若在区间
,
上的最小值为1,求
的值;
(Ⅱ)若“,使
”为假命题,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)求得函数的导数
,利用导数
判断函数
的单调性,求函数
的极值即最值,由题意知, 函数
的最小值只能在
或
处取得,分别解方程求解即可.
(Ⅱ)若“,使
”为假命题,等价于
,
为真命题,即
,
恒成立,通过分离参数法和构造函数法,令
,结合导数判断函数
的单调性,由零点存在性定理求出函数
的最小值,进而求出实数
的取值范围即可.
(Ⅰ)由题意知,函数的导数为
,
所以当时,
,
单调递增,
当时,
,
单调递减,
所以当时
有极大值即最大值,
即有的最小值只能在
或
处取得.
若(1)
,解得
,此时
与函数
最小值为1相矛盾,
故不符合题意;
若(e)
,解得
,此时
符合题意;
综上可知;
(Ⅱ)若“,使
”为假命题,
即,
为真命题,
等价于,可得
恒成立,
化简可得,
恒成立,
令,则
,
令,则
在
上单调递增,
因为,
,
由零点存在性定理知,函数在
,
存在唯一零点
,
即有,则
,
两边同时取以为底的对数可得,
,
所以当时,
,即
,
单调递减,
当时,
,即
,
单调递增,
所以当时,函数
有极小值即最小值,
,
所以实数的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】已知椭圆:
(
)的左焦点为
,其中四个顶点围成的四边形面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的直线
与曲线
交于
,
两点,设
的中点为
,
,
两点为椭圆
上关于原点
对称的两点,且
(
),求四边形
面积的最小值.
【题目】点与定点
的距离和它到直线
的距离的比是常数
,设点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线
与曲线
交于
,
两点,设
的中点为
,
,
两点为曲线
上关于原点
对称的两点,且
(
),求四边形
面积的取值范围.
【题目】2018年6月14日,世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕,世界杯给俄罗斯经济带来了一定的增长,某纪念商品店的销售人员为了统计世界杯足球赛期间商品的销售情况,随机抽查了该商品商店某天200名顾客的消费金额情况,得到如图频率分布表:将消费顾客超过4万卢布的顾客定义为”足球迷”,消费金额不超过4万卢布的顾客定义为“非足球迷”。
消费金额/万卢布 | 合计 | ||||||
顾客人数 | 9 | 31 | 36 | 44 | 62 | 18 | 200 |
(1)求这200名顾客消费金额的中位数与平均数(同一组中的消费金额用该组的中点值作代表;
(2)该纪念品商店的销售人员为了进一步了解这200名顾客喜欢纪念品的类型,采用分层抽样的方法从“非足球迷”,“足球迷”中选取5人,再从这5人中随机选取3人进行问卷调查,则选取的3人中“非足球迷”人数的分布列和数学期望。