题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在定义域上是单调递增函数,求
的取值范围;
(2)若恒成立,求
的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)根据题意,利用导数研究函数的单调性,则在
恒成立,可得
,方法一:令
在
恒成立,利用二次函数性质,即可求解参数范围;方法二:令
在
恒成立,转化不等式
,利用基本不等式求解
,再根据恒成立思想,即可求解参数取值范围.
(2)由题意,化简得在
恒成立,令
,不难发现
,即
在
恒成立,根据极值点概念,判断
是
的极值,可求解参数值,检验成立.
(1)函数在定义域上是单调递增函数,可知导函数
在
恒成立,
即在
恒成立,
可得
方法一:令在
恒成立,
①当对称轴,即
时,
在
单调递增,
,即
恒成立;
②当对称轴,结合二次函数的性质要使在
恒成立,
,
即,解得
综上可得的取值范围是
;
方法二:令在
恒成立,
可得
即在
恒成立,
,
,
即,
故的取值范围是
;
(2)由题意恒成立,
即在
恒成立,
令,
不难发现,即
那么时,
取得最大值,也是极大值,
可知是导函数的一个解.
即,
解得
经检验,当时,
在
递增,在
递减,从而
成立,符合题意,
故得.
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