Question

【题目】设函数的定义域为，若满足条件：存在区间，使在上的值域为，则称为“不动函数”.

（1）求证：函数是“不动函数”；

（2）若函数是“不动函数”，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）可判断在上单调递增，取，得出；取，得出．即在区间上的值域为，即得出是“不动函数”；

（2）可判断在上单调递增，根据是“不动函数”可得出，存在使得函数在区间上的值域为．从而得出方程在上至少有两个不相等的实数根．即在上至少有2个解，等价于和的图像至少有2个交点，研究函数图像即可求出的取值范围．

（1）要证：存在区间使得在上的值域为，

又由于在是一个单调递増的函数，

故只需证存在实数，满足，且有

观察得，，

即存在，符合题意，

故函数是“不动函数”.

（2）由题，定义域为，即存在实数，满足，使得在区间上的值域为，

由于在定义域上单调递増，从而有，

该方程组等价于方程在有至少2个解，

即在上至少有2个解，

即和的图像至少有2个交点，

记，则，且，从而有，

记，配方得，

又，作出的图像可知，时有两个交点，

综上，的取值范围为.